الاحتمالات والإحصاء في القدرات: المتوسط والوسيط والمنوال والاحتمال البسيط بأمثلة محلولة

أسئلة الإحصاء والاحتمال من أسخى أسئلة القسم الكمّي: قواعدها قليلة وثابتة، ومتى حفظتها صارت درجاتها شبه مضمونة. المشكلة الوحيدة أنّ الطلاب يخلطون بين المقاييس الأربعة، أو ينسَون متى يجمعون الاحتمالات ومتى يضربونها. في هذا المقال ستأخذ كل قاعدة تحتاجها مع أمثلة محلولة بالكامل، حتى تدخل الاختبار وأنت تعرف بالضبط ماذا تفعل.

الإحصاء أولًا: أربعة مقاييس يجب أن تتقنها

معظم أسئلة الإحصاء تدور حول أربعة مفاهيم فقط. احفظ هذا الجدول ولن تحتار:

ملاحظة مهمة: كلمة "المعدّل" في المسائل تعني غالبًا المتوسط الحسابي.

مثال محلول (1): المتوسط الحسابي

نص المسألة: درجات طالب في 5 اختبارات هي: 12، 15، 9، 18، 16. ما متوسط درجاته؟

الحل:

1. نجمع الدرجات: 12 + 15 + 9 + 18 + 16 = 70.
2. عدد الاختبارات = 5.
3. المتوسط = 70 ÷ 5 = 14.

الناتج: المتوسط الحسابي = 14. وبالمناسبة، المدى لهذه البيانات = 18 − 9 = 9.

مثال محلول (2): الوسيط عند عدد فردي وزوجي

نص المسألة (أ): أوجد وسيط القيم: 7، 3، 9، 5، 11.

الحل:

1. نرتّب تصاعديًا: 3، 5، 7، 9، 11.
2. العدد فردي (5 قيم)، فالوسيط هو القيمة الوسطى (الثالثة).

الناتج: الوسيط = 7.

نص المسألة (ب): أوجد وسيط القيم: 4، 8، 6، 10.

الحل:

1. نرتّب تصاعديًا: 4، 6، 8، 10.
2. العدد زوجي (4 قيم)، فالوسيط هو متوسط القيمتين الوسطيّتين: (6 + 8) ÷ 2.
3. (6 + 8) ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7.

الناتج: الوسيط = 7.

مثال محلول (3): المنوال

نص المسألة: أوجد منوال القيم: 2، 3، 3، 5، 7، 3، 8.

الحل:

1. نعدّ تكرار كل قيمة: الرقم 3 يظهر 3 مرات، وبقيّة القيم مرة واحدة لكلٍّ منها.
2. القيمة الأكثر تكرارًا هي 3.

الناتج: المنوال = 3. (وقد لا يكون للبيانات منوال إطلاقًا إذا تساوت كل التكرارات.)

الاحتمال: فكرة واحدة بسيطة

كل أسئلة الاحتمال البسيط تعتمد على قانون واحد:

الاحتمال = عدد النواتج المطلوبة ÷ عدد كل النواتج الممكنة.

وقيمة الاحتمال تقع دائمًا بين 0 (مستحيل) و1 (مؤكّد). إن خرجت نتيجتك أكبر من 1، فاعلم أنّك أخطأت في مكانٍ ما.

مثال محلول (4): سحب كرة من كيس

نص المسألة: كيس فيه 5 كرات حمراء و3 زرقاء و2 خضراء. سُحبت كرة عشوائيًا. ما احتمال أن تكون زرقاء؟

الحل:

1. عدد كل الكرات = 5 + 3 + 2 = 10 (هذه كل النواتج الممكنة).
2. عدد النواتج المطلوبة (كرة زرقاء) = 3.
3. الاحتمال = 3 ÷ 10 = 0.3، أي 30%.

الناتج: احتمال سحب كرة زرقاء = 3/10 = 30%.

مثال محلول (5): حجر النرد

نص المسألة: رُمي حجر نرد عادي. ما احتمال ظهور عدد أكبر من 4؟

الحل:

1. كل النواتج الممكنة: 1، 2، 3، 4، 5، 6، أي 6 نواتج.
2. النواتج المطلوبة (أكبر من 4): 5 و6، أي ناتجان.
3. الاحتمال = 2 ÷ 6 = 1/3.

الناتج: الاحتمال = 1/3.

مثال محلول (6): الحادثة المكمّلة

نص المسألة: عند رمي حجر نرد، ما احتمال ألّا يظهر الرقم 6؟

الحل:

1. احتمال ظهور 6 = 1/6.
2. احتمال عدم ظهوره = 1 − احتمال ظهوره = 1 − 1/6.
3. 1 − 1/6 = 5/6.

الناتج: الاحتمال = 5/6. القاعدة المفيدة: احتمال ألّا يقع الحدث = 1 − احتمال وقوعه، وهي تختصر كثيرًا من الحسابات.

مثال محلول (7): "و" مقابل "أو"

هذه أكثر نقطة يخطئ فيها الطلاب. التمييز سهل: كلمة "و" تعني الضرب، وكلمة "أو" (لحادثتين متنافيتين) تعني الجمع.

مثال "و": ما احتمال ظهور صورة في رميتين متتاليتين لعملة؟

الحل: احتمال الصورة في الرمية الواحدة = 1/2. وبما أننا نريد صورة "و" صورة، نضرب: 1/2 × 1/2 = 1/4.

مثال "أو": ما احتمال ظهور 2 أو 5 عند رمي نرد؟

الحل: احتمال كلٍّ منهما = 1/6، والحدثان متنافيان (لا يظهران معًا)، فنجمع: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

أخطاء شائعة احذر منها

• الخلط بين المتوسط والوسيط: المتوسط يتأثّر بالقيم الشاذّة (المرتفعة أو المنخفضة جدًا)، أما الوسيط فأكثر ثباتًا. اقرأ السؤال جيدًا؛ أيّهما يطلب.
• نسيان ترتيب القيم قبل إيجاد الوسيط: الوسيط لا يُقرأ من البيانات كما وردت، بل بعد ترتيبها تصاعديًا. تخطّي الترتيب خطأ متكرّر.
• جمع الاحتمالات في موضع الضرب: إن اجتمع الحدثان ("و") فالعملية ضرب، لا جمع. راجع الجدول أعلاه.
• نسيان أنّ مجموع الاحتمالات = 1: استخدم المكمّلة عندما يكون "عدد الحالات غير المرغوبة" أقل من المرغوبة؛ توفّر وقتًا وتقلّل الخطأ.
• قبول نتيجة أكبر من 1: أي احتمال يتجاوز 1 أو ينزل تحت 0 هو إشارة إنذار بأنّ في الحل خطأ.

أسئلة شائعة

ما الفرق بين المتوسط والوسيط، ومتى يختلفان كثيرًا؟ المتوسط هو مجموع القيم مقسومًا على عددها، والوسيط هو القيمة الوسطى بعد الترتيب. يختلفان كثيرًا حين توجد قيمة شاذّة كبيرة أو صغيرة تجذب المتوسط نحوها بينما يبقى الوسيط ثابتًا في المنتصف.

هل قيمة الاحتمال دائمًا بين 0 و1؟ نعم دائمًا. صفر يعني الحدث مستحيل، وواحد يعني مؤكّد، وما بينهما يمثّل درجات التأكّد. يمكنك تحويله إلى نسبة مئوية بضربه في 100.

متى أجمع الاحتمالات ومتى أضربها؟ اجمع حين يكون المطلوب حدثًا "أو" آخر وهما متنافيان (لا يقعان معًا). واضرب حين يكون المطلوب حدثًا "و" آخر، أي وقوعهما معًا أو تتابعًا.

كيف أحسب الوسيط عند عدد زوجي من القيم؟ رتّب القيم تصاعديًا، ثم خذ القيمتين الوسطيّتين واحسب متوسطهما (اجمعهما واقسم على 2). هذا المتوسط هو الوسيط.

أيّ مقياس يتأثّر أكثر بالقيمة الشاذّة؟ المتوسط الحسابي هو الأكثر تأثّرًا، لأنّه يدخل كل القيم في الحساب. الوسيط والمنوال أقل تأثّرًا بها بكثير، لذلك يُفضَّل الوسيط أحيانًا لوصف بيانات فيها قيم متطرّفة.

هل يمكن أن تكون البيانات بلا منوال، أو بأكثر من منوال؟ نعم. إذا ظهرت كل القيم مرة واحدة فلا منوال، وإذا تساوت أعلى تكرارات لأكثر من قيمة صار للبيانات أكثر من منوال. لا تفترض أنّ للمنوال قيمة واحدة دائمًا.

أسئلة الاحتمال والإحصاء تكافئ من يتدرّب عليها كثيرًا حتى تصير القواعد تلقائية. في تطبيق «نابغ» تجد هذا النوع ضمن 63 نموذجًا محاكيًا (31 للقدرات و32 للتحصيلي) وبنك أسئلة يتجاوز 10,000 سؤال، كل سؤال مرفق بشرح لخطوات الحل، فتتمرّن على المتوسط والوسيط والمنوال والاحتمال حتى تدخل الاختبار وأنت مطمئن لهذه الدرجات.