المتتابعات في القدرات: الحسابية والهندسية والأنماط مع أمثلة محلولة خطوة بخطوة

أسئلة «المتتابعات والأنماط» من ألذّ أسئلة القسم الكمّي؛ لأنها تشبه الألغاز: تُعطى بداية سلسلة من الأرقام، ويُطلب منك اكتشاف القاعدة ثم إكمالها أو إيجاد حدّ بعيد. أغلبها يعود إلى نوعين رئيسيين: المتتابعة الحسابية والمتتابعة الهندسية، مع أنماط أخرى تُبنى على أفكار بسيطة. في هذا المقال ستتعرّف على النوعين، وتتعلّم قاعدة إيجاد أي حدّ دون كتابة السلسلة كاملة، مع أمثلة محلولة خطوة بخطوة.

ما المتتابعة؟

المتتابعة ببساطة قائمة أرقام مرتّبة وفق قاعدة ثابتة. كل رقم فيها يُسمّى «حدًّا»، ونرمز للحد الأول بـ a1 وللحد رقم n بـ an. مهمّتك في الاختبار أن تكتشف القاعدة التي تنقلك من حدّ إلى الذي يليه.

أول سؤال تطرحه على نفسك: هل ننتقل بين الحدود بـ«الجمع/الطرح» أم بـ«الضرب/القسمة»؟ الجواب يحدّد النوع.

المتتابعة الحسابية

في المتتابعة الحسابية ننتقل من كل حدّ إلى الذي يليه بإضافة عدد ثابت يُسمّى «أساس المتتابعة» أو الفرق المشترك، ونرمز له بـ d.

مثال: 3، 7، 11، 15، ... هنا نضيف 4 في كل مرة، إذن d = 4.

لإيجاد أي حدّ دون كتابة السلسلة كلها، استخدم القاعدة:

الحد النوني = a1 + (n − 1) × d

مثال: أوجد الحد العاشر في المتتابعة: 3، 7، 11، 15، ...

الحل:

1. حدّد الأساس: d = 7 − 3 = 4، والحد الأول a1 = 3.
2. عوّض في القاعدة للحد العاشر (n = 10): الحد = 3 + (10 − 1) × 4.
3. احسب القوس: (10 − 1) × 4 = 9 × 4 = 36.
4. اجمع: 3 + 36 = 39.

الناتج: الحد العاشر = 39.

ولو أردت مجموع أول n حدًّا في متتابعة حسابية، استخدم:

المجموع = (عدد الحدود ÷ 2) × (الحد الأول + الحد الأخير)

فمثلًا مجموع الحدود العشرة السابقة = (10 ÷ 2) × (3 + 39) = 5 × 42 = 210.

المتتابعة الهندسية

في المتتابعة الهندسية ننتقل من كل حدّ إلى الذي يليه بالضرب في عدد ثابت يُسمّى «النسبة المشتركة»، ونرمز له بـ r.

مثال: 2، 6، 18، 54، ... هنا نضرب في 3 في كل مرة، إذن r = 3.

قاعدة الحد النوني:

الحد النوني = a1 × r^(n − 1)

مثال: أوجد الحد الخامس في المتتابعة: 2، 6، 18، 54، ...

الحل:

1. حدّد النسبة: r = 6 ÷ 2 = 3، والحد الأول a1 = 2.
2. عوّض للحد الخامس (n = 5): الحد = 2 × 3^(5 − 1) = 2 × 3^4.
3. احسب الأس: 3^4 = 81.
4. اضرب: 2 × 81 = 162.

الناتج: الحد الخامس = 162.

وتنجح القاعدة حتى مع النسب الكسرية. في المتتابعة 64، 32، 16، 8، ... النسبة r = 1/2 (نقسم على 2 في كل مرة)، والحد السادس = 64 × (1/2)^5 = 64 ÷ 32 = 2.

جدول يفرّق بين النوعين

أنماط أخرى شائعة

لا تقتصر أسئلة الأنماط على النوعين السابقين. تدرّب على تمييز هذه القوالب:

• مربّعات الأعداد: 1، 4، 9، 16، 25، ... (الحد التالي 36)، وهي مربّعات 1، 2، 3، 4، 5.
• فرق متزايد: 2، 6، 12، 20، 30، ... الفروق بين الحدود هي 4، 6، 8، 10 وتزداد بانتظام، فالحد التالي = 30 + 12 = 42.
• نمط فيبوناتشي: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، ... كل حدّ مجموع الحدين قبله، فالتالي 21.
• أنماط متبادلة: أحيانًا يتناوب نمطان، كأن ترتفع الأرقام وتنخفض بالتناوب؛ افصلها ذهنيًّا إلى سلسلتين.

القاعدة الذهبية: احسب الفرق بين كل حدّين متجاورين أولًا. إن كان ثابتًا فهي حسابية. إن لم يكن، فجرّب النسبة (القسمة). إن لم تنجح، انظر إلى «فرق الفروق» أو إلى المربّعات والمكعّبات.

أمثلة محلولة إضافية

مثال 1: أوجد الحد العشرين في المتتابعة: 5، 9، 13، 17، ...

الحل:

1. الأساس d = 9 − 5 = 4، والحد الأول a1 = 5.
2. عوّض (n = 20): الحد = 5 + (20 − 1) × 4.
3. احسب القوس: (20 − 1) × 4 = 19 × 4 = 76.
4. اجمع: 5 + 76 = 81.

الناتج: الحد العشرون = 81.

مثال 2: في المتتابعة 7، 10، 13، ... أي حدّ يساوي 43؟

الحل:

1. الأساس d = 3، والحد الأول a1 = 7.
2. ضع القاعدة تساوي 43: 7 + (n − 1) × 3 = 43.
3. اطرح 7 من الطرفين: (n − 1) × 3 = 36.
4. اقسم على 3: n − 1 = 12، إذن n = 13.

الناتج: العدد 43 هو الحد الثالث عشر.

مثال 3: أوجد الحد السادس في المتتابعة: 3، 6، 12، 24، ...

الحل:

1. النسبة r = 6 ÷ 3 = 2، والحد الأول a1 = 3.
2. عوّض (n = 6): الحد = 3 × 2^(6 − 1) = 3 × 2^5.
3. احسب الأس: 2^5 = 32.
4. اضرب: 3 × 32 = 96.

الناتج: الحد السادس = 96.

نصائح لحل أسئلة الأنماط بسرعة

• ابدأ دائمًا بحساب الفرق بين الحدود؛ إنه أسرع كاشف للنوع.
• إذا كبرت الأرقام بسرعة كبيرة، فالغالب أنها هندسية (ضرب) لا حسابية (جمع).
• لا تُكمل السلسلة يدويًّا إلى حدّ بعيد؛ استخدم قاعدة الحد النوني لتوفير الوقت.
• عند الأنماط الغريبة، جرّب فصلها إلى سلسلتين متناوبتين، أو انظر إلى فرق الفروق.

أسئلة شائعة

كيف أفرّق بسرعة بين الحسابية والهندسية؟ احسب الفرق بين حدّين متجاورين. إذا كان الفرق ثابتًا في كل مرة فهي حسابية. أما إذا كانت النسبة (ناتج القسمة) ثابتة فهي هندسية.

هل يمكن أن يكون أساس المتتابعة الحسابية سالبًا؟ نعم. في المتتابعة 20، 17، 14، 11، ... الأساس d = −3، وتُطبَّق القاعدة نفسها تمامًا.

ما فائدة قاعدة الحد النوني؟ تمكّنك من إيجاد حدّ بعيد (كالحد المئة مثلًا) مباشرةً دون كتابة كل الحدود قبله، وهذا يوفّر وقتًا ثمينًا في الاختبار.

ماذا لو لم تكن السلسلة حسابية ولا هندسية؟ غالبًا تكون نمطًا آخر: مربّعات، أو مكعّبات، أو فيبوناتشي، أو فرقًا متزايدًا. جرّب هذه القوالب بالترتيب.

هل النسبة المشتركة يمكن أن تكون كسرًا؟ نعم. عندما تتناقص الأرقام كما في 80، 40، 20، 10 فالنسبة r = 1/2، والمتتابعة هندسية متناقصة.

هل أحفظ القوانين أم أفهمها؟ افهمها أولًا حتى تستطيع اشتقاقها لو نسيتها، ثم كرّر التدريب حتى يصبح تطبيقها تلقائيًّا وسريعًا.

أسرع طريق لإتقان المتتابعات هو رؤية أكبر عدد من أنماطها حتى تصير عينك تلتقط القاعدة في ثوانٍ. في تطبيق «نابغ» تجد بنك أسئلة يتجاوز 10,000 سؤال مع شرح خطوة بخطوة لكل نمط، و63 نموذجًا محاكيًا (31 للقدرات و32 للتحصيلي) تحاكي الاختبار الحقيقي، فتتدرّب على السرعة والدقّة معًا قبل يوم اختبارك.