النِّسب والتناسب في القدرات: الطردي والعكسي وحلّها بسرعة

في القسم الكمّي، أسئلة النِّسب والتناسب من أكثر ما يتكرّر، ومن أسرع ما يمكن حلّه إذا عرفت القاعدة الصحيحة. المشكلة الوحيدة التي تواجه الطالب هي سؤال واحد: هل هذا تناسب طردي أم عكسي؟ في هذا المقال ستميّز بينهما بثقة، وستتعلّم الضرب التبادلي وقسمة الكميات بالنسب، مع أمثلة محلولة خطوة بخطوة.

النسبة والتناسب: ما الفرق؟

النسبة مقارنة بين كميتين، وتُكتب 3:4 أو على صورة كسر 3/4. والتناسب تساوٍ بين نسبتين، مثل 3:4 = 6:8.

قبل أي شيء، تعلّم تبسيط النسبة: اقسم الطرفين على قاسمهما المشترك الأكبر. فمثلًا 18:24 نقسمها على 6 فتصبح 3:4. وانتبه أن الترتيب مهم؛ فالنسبة 2:3 لا تساوي 3:2.

التناسب الطردي

في التناسب الطردي تزيد الكميتان معًا وتنقصان معًا؛ فكلما زاد عدد الأشياء زاد ثمنها. القاعدة: النسبة بينهما ثابتة، أي a/b = c/d.

مثال: إذا كان ثمن 3 دفاتر 12 ريالًا، فكم ثمن 7 دفاتر (بالسعر نفسه)؟

الحل:

1. العلاقة طردية: كلما زادت الدفاتر زاد الثمن.
2. ثمن الدفتر الواحد = 12 ÷ 3 = 4 ريالات.
3. ثمن 7 دفاتر = 7 × 4 = 28 ريالًا.

الناتج: 28 ريالًا.

التناسب العكسي

في التناسب العكسي، كلما زادت إحدى الكميتين نقصت الأخرى؛ فكلما زاد عدد العمال قلّ الزمن اللازم لإنجاز العمل. القاعدة: حاصل ضربهما ثابت، أي a×b = c×d.

مثال: ينجز 4 عمال عملًا في 6 أيام. كم يومًا يحتاج 3 عمال لإنجاز العمل نفسه (بالمعدّل نفسه)؟

الحل:

1. العلاقة عكسية: عمال أقل يعني أيامًا أكثر.
2. الحاصل الثابت = عدد العمال × الأيام = 4 × 6 = 24.
3. عدد الأيام = 24 ÷ 3 = 8 أيام.

الناتج: 8 أيام.

مثال آخر: تقطع سيارة مسافة في 4 ساعات بسرعة 60 كم/س. كم ساعة تحتاج لو زادت السرعة إلى 80 كم/س (للمسافة نفسها)؟

الحل:

1. العلاقة عكسية: سرعة أكبر يعني زمنًا أقل.
2. الحاصل الثابت = السرعة × الزمن = 60 × 4 = 240.
3. الزمن = 240 ÷ 80 = 3 ساعات.

الناتج: 3 ساعات.

كيف تميّز بينهما بسرعة؟

اسأل نفسك سؤالًا واحدًا: «إذا زادت الكمية الأولى، فهل تزيد الثانية أم تنقص؟» إن زادت معها فهو طردي، وإن نقصت فهو عكسي. وهذا الجدول يلخّص الفرق:

الضرب التبادلي: أسرع طريقة للطردي

عندما تكتب التناسب على صورة a/b = c/d، فإن a×d = b×c. هذه هي «الضرب التبادلي»، وتُريحك من حساب قيمة الوحدة.

مثال: على خريطة، كل 2 سم يمثّل 50 كم. فما المسافة الحقيقية التي يمثّلها 5 سم؟

الحل:

1. نكتب التناسب: 2/50 = 5/س.
2. بالضرب التبادلي: 2 × س = 50 × 5.
3. 2س = 250، إذن س = 125.

الناتج: 125 كم.

قسمة كمية بنسبة معيّنة

نوع شائع جدًّا: يُطلب توزيع مبلغ أو كمية على أجزاء بنسبة محددة.

مثال: وُزّع مبلغ 600 ريال بين ثلاثة أشخاص بنسبة 1:2:3. كم نصيب كلٍّ منهم؟

الحل:

1. مجموع الأجزاء = 1 + 2 + 3 = 6.
2. قيمة الجزء الواحد = 600 ÷ 6 = 100 ريال.
3. الأنصبة = 1×100، 2×100، 3×100 = 100 و200 و300.

الناتج: 100 و200 و300 ريال (ومجموعها 600، فالحل صحيح).

أخطاء شائعة تجنّبها

• استخدام قاعدة الطردي في مسألة عكسية (أو العكس)؛ حدّد نوع العلاقة أولًا.
• عكس ترتيب النسبة، فالنسبة 2:3 غير 3:2.
• نسيان تبسيط النسبة في نهاية الحل.
• في قسمة الكمية، القسمة على عدد الأجزاء لا على مجموعها.

أسئلة شائعة

كيف أعرف بسرعة إن كان التناسب طرديًا أم عكسيًا؟ تخيّل زيادة الكمية الأولى: إن زادت الثانية فهو طردي، وإن نقصت فهو عكسي. مثال العمال والزمن عكسي دائمًا.

ما الضرب التبادلي ومتى أستعمله؟ هو أن a×d = b×c في التناسب a/b = c/d. تستعمله في التناسب الطردي لإيجاد المجهول مباشرة.

هل النسبة 2:3 تساوي 3:2؟ لا. الترتيب يغيّر المعنى؛ 2:3 تعني أن الأول جزآن مقابل ثلاثة أجزاء للثاني، والعكس مختلف تمامًا.

كيف أبسّط نسبة مثل 24:36؟ اقسم الطرفين على قاسمهما المشترك الأكبر (هنا 12)، فتصبح 2:3.

ماذا أفعل إذا كانت النسبة بها ثلاثة حدود مثل 1:2:3؟ اجمع الحدود لتحصل على عدد الأجزاء الكلي، ثم اقسم الكمية عليه لتجد قيمة الجزء، ثم اضرب كل حدٍّ فيها.

في «نابغ» تتدرّب على أنواع النِّسب والتناسب كلّها ضمن بنك يتجاوز 10,000 سؤال مع شرح مفصّل لكل خطوة، إضافة إلى 63 نموذجًا محاكيًا (31 للقدرات و32 للتحصيلي) تقيس بها سرعتك ودقّتك قبل يوم الاختبار، وتعود إلى أخطائك لتفهمها لا لتحفظها.